I am Here, Here we are: 벡터의 내적

벡터는 무엇인가?

집단지성 프로그래밍이란 책을 보고 있는데, 자꾸 벡터와 관련된 개념이 나오길래 한번 정리를 해야하겠다 싶어서 포스팅을 한다. 대학교때 선형대수라는 과목에서 배웠었던 것 같아서 책을 한번 펼쳐보니...

넓이, 길이, 질량, 온도와 같은 여러 가지 물리적 양은 그 양의 크기만 주어지면 완전히 묘사된다. 이와 같은 양을 스칼라(scalar)라 한다. 또 다른 물리적 양은 크기뿐만 아니라 그 방향까지 지정하지 않으면 간단히 결정되지 않는다. 이와 같은 양을 벡터(vector) 라 한다. 예컨대, 바람의 이동은 보통 주어진 바람의 속력과 방향으로 기술된다. 북동방향으로 20 mph, 풍속과 바람의 방향은 풍속도라 불리우는 하나의 벡터를 이룬다.

이런 용도로 벡터라는 개념이 생겼단다. 요컨대 크기뿐만 아니라 방향도 가지고 있는 개념이다. 데이터마이닝에서 이 벡터라는 녀석이 은근히 많이 쓰이는 것 같다.

벡터의 norm

벡터 u의 길이는 u의 노름( norm) 이라 불리우고, ||u|| 인 기호로서 표헌된다. 피타고라스의 정리에 의하여 2차원 공간의 벡터 u = (u1, u2) 의 norm은 아래와 같다.

벡터의 내적이란 무엇인가? (Inner Product, Dot Product, Scalar Product)

내적은 벡터와 벡터 사이의 연산이다. u, v 을 2차원 또는 3차원 공간내의 0이 아닌 벡터라 하고 이들 벡터는 시점이 일치하도록 놓여 있다 하자. u와 v가 만드는 각 중에서 0 <= θ <= π 을 만족하는 각을 u와 v가 이루는 각이라 한다.

u,v 을 2차원 또는 3차원 공간의 벡터, θ를 이들이 이루는 각이라 할 때, u,v 의 유클리드 내적 또는 도트곱(Euclidean inner product or dot product) u · v 를 아래와 같이 정의한다.